Todos los máximos y mínimos locales en el gráfico de una función - llamada extremos locales - se producen en puntos críticos de la función (donde la derivada es cero o no definido). (No hay que olvidar, sin embargo, que no todos los puntos críticos son necesariamente los extremos locales.)

El primer paso en la búsqueda de extremos locales de una función es encontrar los números críticos (los x-valores de los puntos críticos). A continuación, utiliza la primera derivada. Esta prueba se basa en las ideas del Premio Nobel de calibre que a medida que se pasa de la parte superior de una colina, primero tienes que subir y luego vas hacia abajo, y que cuando se conduce dentro y fuera de un valle, hay que bajar y luego arriba. Este material cálculo es bastante increíble, ¿eh?

La figura muestra la gráfica de

Para encontrar los números críticos de esta función, esto es lo que haces.

1. Encuentra la primera derivada de f usando la regla de la potencia.
   
   
   
2. Establezca la derivada igual a cero y resolver para x.
   
   
   

   x = 0, -2, o 2.

   Estos tres valores-x son los números críticos de f. Números críticos adicionales podrían existir si la primera derivada se indefinido en algún x-valores, sino porque el derivado

   
   

   está definida para todos los valores de entrada, el conjunto solución anterior, 0, -2 y 2, es la lista completa de los números críticos. Debido a que el derivado (y la pendiente) de f es igual a cero en estos tres números críticos, la curva tiene tangentes horizontales en estos números.

Ahora que tienes la lista de los números críticos, es necesario determinar si los picos o valles o no ocurrir en los x-valores. Usted puede hacer esto con la primera derivada. He aquí cómo:

1. Tome una línea de números y poner los números críticos que ha encontrado: 0, -2 y 2.
   
   
   
   

   Se divide esta línea número en cuatro regiones: a la izquierda de -2, -2 a 0, de 0 a 2, y a la derecha de 2.

2. Elija un valor de cada región, conéctelo a la primera derivada, y observe si su resultado es positivo o negativo.
   
   Para este ejemplo, puede utilizar los números -3, -1, 1 y 3 para poner a prueba las regiones.

   
   

   Estos cuatro resultados son, respectivamente, positivo, negativo, negativo y positivo.

3. Lleve a su línea de números, marque cada región con el signo positivo o negativo apropiado, e indicar que la función es creciente y decreciente.
   
   Está aumentando donde la derivada es positiva, y disminuyendo en el que el derivado es negativo. Ycompararlos es un llamado gráfico de señal para la función.

   
   
   

   Esta cifra simplemente te dice lo que ya sabes si has mirado la gráfica de f - que la función sube hasta -2, abajo -2-0, más abajo de 0 a 2, y de nuevo a partir del 2 de.

   Ahora, aquí está la ciencia de cohetes. La función cambia de creciente a decreciente a -2; en otras palabras, que se sube a -2 y luego hacia abajo. Así, a -2, tiene una colina o un máximo local. A la inversa, ya que la función pasa de decreciente a creciente a los 2, tiene un valle allí o un mínimo local. Y debido a que la señal de la primera derivada no cambia en cero, no hay ni un mínimo ni un máximo en que el valor de x.

4. Obtener los valores de la función (en otras palabras, las alturas) de estos dos extremos locales conectando los valores x- en la función original.
   
   
   

   Así, el máximo local está situado en (-2, 64), y el min local es en (2, -64). Ha terminado.

Para usar la primera derivada para la prueba de un extremo local en un número crítico particular, la función debe ser continua en ese valor de x.