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Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Su primer paso en cualquier problema que involucra fracciones parciales es reconocer cuyo caso usted está tratando con lo que pueda solucionar el problema. Uno de los casos donde se puede utilizar fracciones parciales es con factores cuadráticos repetidos.

Esta es su peor pesadilla cuando se trata de fracciones parciales, porque el denominador incluye factores cuadráticos repetidos.

Para cada factor cuadrático cuadrado en el denominador, sumar dos fracciones parciales de la siguiente forma:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Para cada factor de segundo grado en el denominador que ha elevado a la tercera potencia, sumar tres fracciones parciales de la siguiente forma:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

En términos generales, cuando un factor cuadrático se eleva a la enésima potencia, añadir fracciones n parciales. Por ejemplo:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Este denominador tiene un factor no repetitivo lineal (x - 8), un factor cuadrático no repetitivo (x 2 + x + 1), y una expresión cuadrática que está cuadrado (x 2 + 3). He aquí cómo configurar las fracciones parciales:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

En este ejemplo se añade una fracción parcial para cada uno de los factores no repetitivo y dos fracciones parciales para el factor de cuadrado.

Cuando usted comienza con un factor de segundo grado de la forma (ax 2 + C), utilizando fracciones resultados parciales en los siguientes dos integrales:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Integrar el primero mediante el uso de la sustitución de variables u = ax 2 + C para que du = 2 ax dx y

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Esta sustitución da como resultado la siguiente integral:

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He aquí algunos ejemplos:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Para evaluar la segunda integral, utilice la siguiente fórmula:

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La mayoría de los profesores de matemáticas tienen al menos una pizca de misericordia en sus corazones, para que no tienden a darle problemas que incluyen este caso más difícil. Cuando usted comienza con un factor de segundo grado de la forma (ax 2 + bx + C), utilizando fracciones resultados parciales en la siguiente integral:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Bueno, eso es demasiado muchas cartas y no casi suficientes números. He aquí un ejemplo:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Se trata de la integrante más peludo alguna vez va a ver en el otro extremo de una fracción parcial. Para evaluarlo, desea utilizar la sustitución de variables u = x 2 + 6 x + 13 para que = (2 x + 6) dx du. Si el numerador eran 2 x + 6, estarías en gran forma. Así que hay que ajustar el numerador un poco. Primero se multiplica por 2 y dividir toda la integral por 2:

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Como multiplicaste toda la integral por 1, se ha producido ningún cambio neto. Ahora agregue 6 y -6 al numerador:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Esta vez, se agrega 0 a la integral, que no cambia su valor. En este punto, se puede dividir la integral en dos:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

En este punto, puede utilizar la sustitución de variables para cambiar el primer integrante de la siguiente manera:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Para resolver la segunda integral, completar el cuadrado en el denominador: Divida el término b (6) por 2 y cuadrar, y luego representar el término C (13) como la suma de esto y todo lo que queda:

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Ahora dividir el denominador en dos cuadrados:

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Para evaluar esta integral, utilizar la misma fórmula de la sección anterior:

Configuración de las fracciones parciales cuando lo haya repetido Factores cuadráticas

Así que aquí está la respuesta final para la segunda integral:

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Por lo tanto, reconstruir la respuesta completa de la siguiente manera:

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