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Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Un ingenioso método para resolver ecuaciones diferenciales (ED) es en la forma de una ecuación lineal de primer orden. Este método consiste en multiplicar toda la ecuación por un factor de integración Una ecuación lineal de primer orden tiene la forma siguiente.:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Para utilizar este método, siga estos pasos:

  1. Calcular el factor de integración.
  2. Multiplique el DE por este factor de integración.
  3. Repita el lado izquierdo de la ecuación como una sola derivado.
  4. Integrar a ambos lados de la ecuación y resuelve para y.

Para ayudarle a entender cómo funciona un multiplicando por el factor de integración, la siguiente ecuación está configurado para prácticamente resolverá por sí mismo - es decir, si usted sabe lo que debe hacer:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Observe que este es un primer grado lineal DE, con

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

yb (x) = 0. Ahora ajustar esta ecuación al multiplicar cada término por x 2 (que se ve por qué en breve):

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

A continuación, utiliza el álgebra para hacer un poco de simplificación y reordenando:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Aquí es donde usted parece tener mucha suerte: Los dos términos en el lado izquierdo de la ecuación acaba de pasar a ser el resultado de la aplicación de la regla del producto para la expresión y · x 2:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Observe que el lado derecho de esta ecuación es exactamente el mismo que el lado izquierdo de la ecuación anterior. Así que usted puede hacer la siguiente sustitución:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Ahora, para deshacer el derivado en el lado izquierdo, a integrar ambos lados, y luego a resolver para y:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Para comprobar esta solución, se conecta este valor de y de nuevo en la ecuación original:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

El ejemplo anterior funciona porque has encontrado una manera de multiplicar toda la ecuación por un factor que hizo que el lado izquierdo de la ecuación parece un derivado resultante de la regla del producto. Aunque esto parecía suerte, si usted sabe lo que se multiplique por, cada primer orden lineal DE puede transformarse de esta manera. Recordemos que la forma de un lineal de primer orden DE es la siguiente:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

El truco consiste en multiplicar el DE por un factor de integración basado en una (x). Aquí está el factor de integración:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Por ejemplo, en el problema anterior, usted sabe que

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Así que aquí es cómo encontrar el factor de integración:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Recuerde que 2 ln x = ln x 2, por lo que:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Como se puede ver, el factor de integración x 2 es el valor exacto que multiplicado por resolver el problema. Para ver cómo funciona este proceso ahora que usted sabe el truco, aquí hay otro DE resolver:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

En este caso, a (x) = 3, por lo que calcular el factor de la integración de la siguiente manera:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Ahora multiplica cada término de la ecuación por este factor:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Si te gusta, usar el álgebra para simplificar el lado derecho y el lado izquierdo reorganizar:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Ahora se puede ver cómo el lado izquierdo de esta ecuación se ve como el resultado de la regla del producto aplicado para evaluar la siguiente derivada:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Debido a que el lado derecho de esta ecuación es la misma que el lado izquierdo de la ecuación anterior, se puede hacer la siguiente sustitución:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Observe que cambia el lado izquierdo de la ecuación usando la regla del producto a la inversa. Es decir, usted está expresando todo el lado izquierdo como un único derivado. Ahora usted puede integrar ambos lados para cancelar este derivado:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Ahora resuelve para y y simplificar:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Para comprobar esta respuesta, sustituir este valor de y de nuevo en el DE originales:

Resolución de ecuaciones diferenciales con un factor de integración

Como por arte de magia, esta respuesta comprueba hacia fuera, así que la solución es válida.